FISIKA KUANTUM

UTS FISIKA KUANTUM A1

1. Selidikilah apakah fungsi gelombang f(x) = Aeikx merupakan fungsi eigen dari operator \hat{H}=d^{2}/dx^{2}. Bila iya, tentukan nilai eigennya!

2. Partikel bermassa m bergerak dalam kotak satu dimensi yang panjangnya I dengan potensial V(x)=\begin{cases}\infty,&x<0\\ 0,&0<x<\frac{l}{2}\\ .\end{cases} \infty,x>\frac{1}{2} a) Gambarkanlah bentuk potensialnya, b) Nyatakan bentuk persamaan gelombangnnya beserta kontanta normalisasinya. c) harga harap posisi dan energinya, d) Tentukan peluang menemukan partikel dari x=-l/2 sampai =l/2!

3. Model vibrasi gas Nitrogen dapat dideskripsikan sebagai sistem osilator harmonik memiliki fungsi keadaan (x) = Axe-05ax dengan a = m/h dan dalam pengaruh potensial I(x)=0,5m\omega^{2}x^{2} Tentukanlah harga harap energi(E) dan posisinya(x) ?

Jawaban: 

1. * Hitung turunan pertama dari f(x)f(x):

Mari kita mulai dengan menerapkan operator $\widehat{H}$ pada $f(x)$:

Pertama, kita hitung turunan pertama dari 

$f(x)$:

* Hitung turunan kedua dari f(x)f(x):

Dari sini kita bisa melihat bahwa $f(x)=A{e}^{ikx}$ memang merupakan fungsi eigen dari operator $\widehat{H}=\frac{d^2}{d{x}^2}$, dengan eigenvalue $-k^2$

Jadi, kesimpulannya:

• Fungsi $f(x)=A{e}^{ikx}$ adalah fungsi eigen dari operator $\widehat{H}=\frac{d^2}{d{x}^2}$
• Nilai eigen (eigenvalue) yang bersesuaian adalah $-k^2$

2. Bentuk potensial

Dari kondisi batas pertama:$$\psi (0)=A\sin (0)+B\cos (0)=B=0$$

$$\psi (0)=A\sin (0)+B\cos (0)=B=0$$

Sehingga persamaan gelombang menjadi:

$$\psi (x)=A\sin (kx)$$

Dari kondisi batas kedua:

$$\psi \left(\frac{l}{2}\right)=A\sin \left(k\frac{l}{2}\right)=0$$

Ini berarti $\sin \left(k\frac{l}{2}\right)=0$. Solusi non-trivial terjadi ketika:

$$k\frac{l}{2}=n\pi \text{dengan }n=1,2,3,\dots$$

Nilai eksak integral kedua dapat dihitung lebih lanjut, tetapi pendekatan ini menunjukkan langkah-langkah utama.

$$3.\; Harga\; Harap\; energi\; (E)\; dan\; posisinya\; (x)$$

a). Fungsi Gelombang Terormalisasi

Pertama, kita pastikan fungsi gelombang ini terormalisasi. Ini berarti:

Gunakan integral Gaussian standar:

Jadi,

b). Harga Harap Posisi $$⟨x⟩\langle x \rangle

Harga harap posisi dalam osilator harmonik kuantum dengan fungsi gelombang simetris seperti ini adalah nol karena fungsi simetri ganjil:

c). Harga Harap Energi $$⟨E⟩\langle E \rangle

Energi rata-rata untuk osilator harmonik kuantum dalam keadaan dasar (n=0) diberikan oleh:

E0​=21​ℏω

Namun, kita juga bisa menghitung harga harap energi secara eksplisit dari definisi:

$$⟨E⟩=⟨\psi \mathrm{\mid }\widehat{H}\mathrm{\mid }\psi ⟩$$

Di mana Hamiltonian $\widehat{H}$ adalah:

Fungsi gelombang yang diberikan adalah bentuk umum dari keadaan dasar osilator harmonik kuantum, sehingga harga harap energi adalah:

$$⟨E⟩=\frac{1}{2}\mathrm{\hslash }\omega$$

Jadi, harga harap energi $⟨E⟩$ adalah:

$$⟨E⟩=\frac{1}{2}\mathrm{\hslash }\omega$$

Kesimpulannya:

1. Harga harap posisi $⟨x⟩$ adalah nol.
2. Harga harap energi $⟨E⟩$ adalah $\frac{1}{2}\mathrm{\hslash }\omega$.

Mata Kiliah : FISIKA KUANTUM

Penulis : MUTHIA HERIKA