Langsung ke konten utama

SUMUR POTENSIAL

 SUMUR POTENSIAL


Definisi sumur potensial

    Sumum potensial terbatas (juga dikenal sebagai sumur kuadrat terbatas) adalah konsep dari mekanika kuantum. Ini adalah perpanjangan dari sumur potensi tak terbatas, di mana sebuah partikel terbatas pada "kotak", tetapi partikel yang memiliki "dinding" potensial terbatas. 


cara penggambaran sumur potensial

Penggambaran sumur potensial 1D dapat dilakukan dengan menggambarkan grafik fungsi potensial terhadap posisi partikel. Misalnya, potensial sumur potensial berhingga akan memiliki nilai terbatas di dalam wilayah terbatas, sementara di luar wilayah tersebut potensialnya tidak terbatas.


persamaan schroedinger sumur potensial

Untuk kasus 1 dimensi pada sumbu x,Persamaan Schrödinger yang tidak bergantung pada waktu dapat ditulis sebagai:

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi }

 

 

 

 

(1)

dimana

  • {\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}adalah konstanta Planck yang dikurangi,
  • {\displaystyle h}adalahKonstanta Planck,
  • {\displaystyle m}adalahmassa partikel,
  • {\displaystyle \psi }adalah (nilai kompleks)fungsi gelombang yang ingin kita temukan,
  • {\displaystyle V(x)}adalah fungsi yang menggambarkan energi potensial pada setiap titik x, dan
  • {\displaystyle E}adalahenergi, bilangan real, terkadang disebut energi eigen.

Untuk kasus partikel dalam kotak 1 dimensi dengan panjang L, potensinya adalah{\displaystyle V_{0}}di luar kotak, dan nol untuk x di antara{\displaystyle -L/2}dan{\displaystyle L/2}. Fungsi gelombang dianggap terdiri dari fungsi gelombang yang berbeda pada rentang x yang berbeda, tergantung pada apakah x berada di dalam atau di luar kotak. Oleh karena itu, fungsi gelombang didefinisikan sedemikian rupa sehingga:

{\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (wilayah di luar sumur)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (wilayah di dalam sumur)}}\\\psi _{3},&{\text{if }}x>L/2{\text{ (wilayah di luar sumur)}}\end{kasus}}

Di dalam kotakmengedit

Untuk wilayah di dalam kotak, V(x) = 0 dan Persamaan 1 berkurang menjadi

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}.}

Membiarkan

{\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},}

persamaannya menjadi

{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}.}

Ini adalah studi yang baikpersamaan diferensial danmasalah nilai eigen dengan solusi umum dari

{\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,.}

Oleh karena itu,

{\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}.}

Di sini, A dan B bisa berupa apa sajabilangan kompleks, dan k bisa berupa bilangan real apa saja.

Di luar kotakmengedit

Untuk wilayah di luar kotak, karena potensinya konstan,{\displaystyle V(x)=V_{0}}dan persamaan 1 menjadi:

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}}

Ada dua kemungkinan keluarga solusi, tergantung pada apakah E kurang dari{\displaystyle V_{0}}(partikel terikat dalam potensial) atau E lebih besar dari{\displaystyle V_{0}}(partikelnya bebas).

Untuk partikel bebas,{\displaystyle E>V_{0}}, dan membiarkan

{\displaystyle k'={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}}

menghasilkan

{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-k'^{2}\psi _{1}}

dengan bentuk solusi yang sama dengan kasus sumur dalam:

{\displaystyle \psi _{1}=C\sin(k'x)+D\cos(k'x)}

Analisis ini akan fokus pada keadaan terikat, di mana{\displaystyle E<V_{0}}. Membiarkan

{\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}}

menghasilkan

{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}}

dimana solusi umum adalah eksponensial:

{\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}}

Demikian pula, untuk wilayah lain di luar kotak:

{\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}}

Sekarang untuk menemukan solusi spesifik untuk masalah yang dihadapi, kita harus menentukan kondisi batas yang sesuai dan menemukan nilai untuk A, B, F, G, H dan I yang memenuhi kondisi tersebut.

Tentukan solusi fungsi gelombang

Solusi untuk persamaan Schrödinger harus kontinu, dan dapat dibedakan secara terus menerus.[1]Persyaratan ini adalahkondisi batas pada persamaan diferensial yang sebelumnya diturunkan, yaitu, kondisi pencocokan antara solusi di dalam dan di luar sumur.

Dalam hal ini, sumur potensial hingga simetris, sehingga simetri dapat dieksploitasi untuk mengurangi perhitungan yang diperlukan.

Merangkum bagian sebelumnya:

{\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (wilayah di luar kotak)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (wilayah di dalam kotak)}}\\\psi _{3}&{\text{if }}x>L/2{\text{ (wilayah di luar kotak)}}\end{cases}}}

dimana kami menemukan{\displaystyle \psi _{1}},{\displaystyle \psi _{2}}, dan{\displaystyle \psi _{3}}menjadi:

{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}&=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\\\psi _{2}&=A\sin(kx)+B\cos(kx)\\\psi _{3}&=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\end{aligned}}}

Kami melihat itu sebagai{\displaystyle x}pergi ke{\displaystyle -\infty }, yang{\displaystyle F}istilah menjadi tak terbatas. Begitu juga, sebagai{\displaystyle x}pergi ke{\displaystyle +\infty }, yang{\displaystyle I}istilah menjadi tak terbatas. Agar fungsi gelombang menjadi persegi yang dapat diintegrgulasi, kita harus mengatur{\displaystyle F=I=0}, dan kami memiliki:

{\displaystyle \psi _{1}=Ge^{\alpha x}}

dan

{\displaystyle \psi _{3}=Dia^{-\alpha x}}

Selanjutnya, kita tahu bahwa secara keseluruhan{\displaystyle \psi }fungsi harus kontinu dan dapat dibedakan. Dengan kata lain, nilai-nilai fungsi dan turunannya harus cocok pada titik pemisah:

{\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)}{\displaystyle \psi _{2}(L/2)=\psi _{3}(L/2)}
{\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}}{\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=L/2}=\left.{\frac {d\psi _{3}}{dx}}\right|_{x=L/2}}

Persamaan ini memiliki dua jenis solusi, simetris, yang mana{\displaystyle A=0}dan{\displaystyle G=H}, dan antisimetris, untuk yang mana{\displaystyle B=0}dan{\displaystyle G=-H}. Untuk kasus simetris yang kami dapatkan

{\displaystyle He^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)}
{\displaystyle -\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)}

jadi mengambil rasio memberi

Akar dari persamaan untuk tingkat energi terkuantisasi

{\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2).}

Demikian pula untuk kasus antisimetris yang kita dapatkan

{\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2).}

Ingat bahwa keduanya{\displaystyle \alpha }dan{\displaystyle k}bergantung pada energi. Apa yang kami temukan adalah bahwa kondisi kontinuitas tidak dapat dipenuhi untuk nilai energi yang sewenang-wenang; karena itu adalah hasil dari kasus sumur potensial tak terbatas. Dengan demikian, hanya nilai energi tertentu, yang merupakan solusi untuk salah satu atau salah satu dari dua persamaan ini, yang diizinkan. Oleh karena itu kami menemukan bahwa tingkat energi dari sistem di bawah ini{\displaystyle V_{0}}bersifat diskrit; fungsi eigen yang sesuai adalahnegara bagian yang terikat. (Sebaliknya, untuk tingkat energi di atas{\displaystyle V_{0}}adalah terus menerus.[2])

Tinjau kasus partikel dalam potensial tangga/barrier

Sebagai contoh kasus yang terakhir, mari kita pertimbangkan juga sumur potensial berhingga,

[2.127]

V(x) = \begin{cases} -V_{0} & -a < x < a \\ 0 & |x| > 0 \end{cases},


di mana V_{0} adalah konstanta positif (Gambar2.12). Seperti dinding potensial fungsi Delta, sumur potensial berhingga berlaku dua keadaan, keadaan terikat (dengan E < 0) dan keadaan hamburan (dengan E > 0). Pertama, kita akan mempelajari keadaan terikat terlebih dahulu.

.

Gambar 2.12: Sumur potensial Berhingga (Persamaan 2.127).

Pada daerah x > -a potensialnya adalah nol, maka persamaan Shroedinger menjadi

- \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} = E \psi, atau \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} = \kappa^{2} \psi,

di mana

[2.128]

\kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}

adalah real dan positif. Solusi umumnya adalah \psi(x) = A exp (- \kappa x) + B exp (\kappa x), tetapi bagian pertama akan bernilai tak berhingga (pada x \to - \infty), maka solusi fisis yang dapat diterima (seperti sebelumnya, lihat Persamaan 2.101) adalah

[2.129]

\psi(x) = B e^{\kappa x} untuk (x < -a).

Dalam daerah -a < x < a, V(x) = -V_{0}, dan persamaan Shroedinger menjadi

- \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + V_{0} \psi = E \psi, atau \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} = -l^{2} \psi,

di mana

[2.130]

l \equiv = \frac{\sqrt{2m(E + V_{0})}}{\hbar}.

Walaupun E negatif, untuk keadaan terikat haruslah lebih besar dari pada - V_{0}, yang disebabkan oleh teorena klasik yang menyebutkan bahwa E > V_{min}(soal 2.2), oleh karena itu, l juga harus real dan positif. Solusi umumnya adalah

[2.131]

\psi(x) = C sin (lx) + D cos (lx), untuk (-a < x < a),

Di mana C dan D adalah sembarang konstanta. Akhirnya, dalam daerah x > a potensialnya kembali lagi nol, solusi umumnya adalah \psi(x) = F exp (- \kappa x) + G exp (\kappa x), tetapi bagian yang kedua akan menjadi tak berhingga (pada x \to - \infty), maka kita hanya menyisakan

[2.132]

\psi(x) = F exp (- \kappa x), untuk (x > a)


Langkah kedua yang harus kita lakukan adalah menentukan syarat batas: \psi dan d \psi / dx kontinu pada -a dan +a. Tetapi kita dapat menghemat sedikit waktu kita dengan mengingat bahwa potensial ini adalah fungsi genap, maka kita dapat mengasumsikan tanpa ada kekurangan bahwa solusinya adalah juga merupakan fungsi genap dan ganjil (Soal 2.1c). Keuntungan dari ini adalah bahwa kita hanya butuh untuk menerapkan syarat batas pada salah satu sisi saja (katakanlah pada +a), sisi yang lain secara otomatis akan langsung sama cara penyelesainnya, karena \psi(-x) = \pm \psi(x). Kita akan mengerjakan solusi genapnya saja, maka tugas kamu adalah mengerjakan sisi ganjilnya pada Soal 2.28. Cos adalah fungsi genap (dan sin adalah fungsi ganjil), maka solusi umumnya adalah

[2.133]

\psi(x) = \begin{cases} F e^{- \kappa x}, & \text{untuk} \; x > a, \\ D cos (lx), & \text{untuk} \; (0 < x < a), \\ \psi(-x), & \text{untuk} \; (x < 0) \end{cases}


Contoh Soal Pembahasan Sumur Potensial

Berikut adalah beberapa contoh soal pembahasan sumur potensial:

Soal 1:

Sebuah elektron terjebak dalam sumur potensial persegi dengan lebar L = 1 nm dan tinggi V = 1 eV. Hitunglah energi tingkat dasar elektron tersebut.

Pembahasan:

Energi tingkat dasar elektron dalam sumur potensial persegi dapat dihitung menggunakan persamaan Schrödinger:

E = (h^2 * n^2 * pi^2) / (2 * m * L^2)

di mana:

  • E adalah energi elektron (eV)
  • h adalah konstanta Planck (6.626 x 10^-34 J s)
  • n adalah nomor kuantum (n = 1 untuk tingkat dasar)
  • pi adalah konstanta pi (3.14159)
  • m adalah massa elektron (9.11 x 10^-31 kg)
  • L adalah lebar sumur potensial (nm)

Dengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui, kita dapatkan:

E = (6.626 x 10^-34 J s)^2 * (1)^2 * (3.14159)^2 / (2 * 9.11 x 10^-31 kg * (1 x 10^-9 m)^2)
E = 0.815 eV
Soal 2:
Sebuah partikel dengan massa  bergerak dalam sumur potensial persegi berhingga dengan lebar  dan energi potensial  di dalam sumur. Jika energi total partikel adalah , hitunglah:
  1. Persamaan gelombang fungsi partikel di dalam sumur.
  2. Kondisi untuk energi terkuantisasi.
Pembahasan:
1. Persamaan Gelombang Fungsi:
Persamaan Schrödinger untuk partikel dalam sumur potensial persegi berhingga dapat ditulis sebagai:
Di mana:
  •  adalah konstanta Planck tereduksi.
  •  adalah massa partikel.


Postingan populer dari blog ini

MAGNETOSTATIK

 MAGNETOSTATIK  Magnetostatika adalah salah satu cabang ilmu fisika yang mengkaji tentang medan magnet dimana arus dalam sistem tidak bergerak (statis). pembahasan tentang magnetostatika erat kaitannya dengan elektrostatika dan elektromagnetika. Dalam magnetostatika banyak membahas tentang induksi magnetik yang dihasilkan oleh arus listrik searah. Adanya arus listrik akan menghasilkan induksi magnetik. Dengan kata lain, medan magnet dapat timbul karena adanya arus listrik. Dalam magnetostatik, kita dapat menggunakan hukum Gauss untuk magnetisme dan hukum Ampere untuk menentukan medan magnet yang dihasilkan oleh arus listrik searah.   Kita juga dapat menggunakan konsep garis gaya magnet, induksi magnetik, fluks magnetik, dan momen dipol magnetik untuk menggambarkan sifat-sifat medan magnet . Magnetostatik juga dapat digunakan untuk memprediksi peristiwa-peristiwa peralihan magnetik yang cepat yang terjadi pada skala waktu nanodetik atau kurang . Magnetostatik banyak diguna...
Baca selengkapnya

TEORI KEGAGALAN DAN SIFAT HIGROTERMAL

  Teori Kegagalan Material Komposit      Teori kegagalan material komposit digunakan untuk memahami dan memprediksi kapan dan bagaimana material komposit akan mengalami kegagalan ketika diterapkan beban atau kondisi lingkungan tertentu. Karena komposit terdiri dari dua atau lebih komponen dengan sifat yang berbeda (seperti serat dan matriks), kegagalan bisa terjadi dalam berbagai bentuk yang lebih kompleks dibandingkan dengan material tunggal (monolitik). Oleh karena itu, teori kegagalan komposit lebih rumit dan mempertimbangkan interaksi antara komponen-komponen material tersebut. Jenis-Jenis Kegagalan dalam Material Komposit Kegagalan Serat Pecahnya Serat : Serat pada komposit bisa mengalami kegagalan jika beban yang diterapkan melebihi kekuatan tarik serat. Kegagalan ini biasanya terjadi pada serat yang mengarah ke arah tegangan. Kegagalan Matriks Retakan Matriks : Matriks dapat retak atau pecah jika mengalami tegangan tarik atau geser yang lebih tinggi dari batas...
Baca selengkapnya

MATERI UJI KUAT LAMINA KOMPOSIT KOEFISIEN

  Uji Kuat Lamina Komposit dan Koefisiennya      Lamina komposit adalah lapisan tipis material komposit yang terdiri dari serat dan matriks. Setiap lapisan (lamina) dalam komposit memiliki orientasi serat yang dapat berbeda-beda untuk memberikan kekuatan dan kekakuan yang optimal dalam arah tertentu. Uji kuat lamina komposit bertujuan untuk menentukan bagaimana lapisan komposit berperilaku di bawah kondisi beban, termasuk ketahanan terhadap kegagalan atau kerusakan. Uji Kuat Lamina Komposit      Uji kuat lamina komposit mengukur sifat mekanik dari lapisan komposit (serat dan matriks) yang mempengaruhi ketahanan material terhadap beban. Uji ini penting untuk memahami karakteristik kekuatan dan kekakuan dari bahan komposit yang digunakan dalam aplikasi struktural, terutama yang melibatkan material lapisan (lamina). Beberapa uji yang umum dilakukan pada lamina komposit termasuk: Uji Tarik (Tensile Test) : Uji tarik dilakukan untuk mengukur kekuatan tarik...
Baca selengkapnya