PERSAMAAN MAXWELL
Persamaan Maxwell adalah himpunan empat persamaan diferensial parsial yang mendeskripsikan sifat-sifat medan listrik dan medan magnet dan hubungannya dengan sumber-sumbernya, muatan listrik dan arus listrik, menurut teori elektrodinamika klasik. Keempat persamaan ini digunakan untuk menunjukkan bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik. Secara terpisah, keempat persamaan ini masing-masing disebut sebagai Hukum Gauss, Hukum Gauss untuk magnetisme, Hukum induksi Faraday, dan Hukum Ampere.Keempat persamaan ini dengan Hukum Lorentz merupakan kumpulan hukum lengkap dari elektrodinamika klasik.
Perumusan umum persamaan Maxwell
Persamaan-persamaan dalam bagian ini ditulis dalam satuan SI. Tidak seperti persamaan dalam mekanika misalnya, perumusan persamaan Maxwell berubah-ubah tergantung pada sistem satuan yang digunakan. Meskipun bentuk umumnya tetap, berbagai definisi berubah dan tetapan yang berbeda-beda muncul di tempat yang berbeda-beda pula. Selain satuan SI (yang umum digunakan dalam rekayasa), sistem satuan lain yang umum digunakan adalah satuan Gauss (didasarkan pada sistem CGS dan dianggap memiliki keuntungan teoretis dibandingkan SI ), satuan Lorentz-Heaviside (biasa digunakan dalam fisika partikel) dan satuan Planck (digunakan dalam fisika teori).
Ada dua perumusan umum persamaan Maxwell, yang dibeberkan di bawah. Kedua-duanya ekivalen. Perumusan pertama memisahkan muatan terikat dan arus terikat (yang muncul dalam konteks dielektrik dan/atau bahan magnet) dari muatan bebas dan arus bebas. Pemisahan ini berguna untuk perhitungan yang melibatkan bahan dielektrik dan magnet. Perumusan kedua memperlakukan semua muatan secara setara, menggabungkan baik muatan bebas dan terikat ke dalam muatan total (dan hal yang sama juga berlaku untuk arus). Ini adalah pendekatan yang lebih mendasar atau mikroskopis, dan terutama berguna bila tidak ada bahan dielektrik atau magnet.
Lambang dicetak tebal mewakili besaran vektor, sedangkan lambang dicetak miring mewakili besaran skalar
Tabel 1: Perumusan dalam muatan dan arus bebas
Table 2: Perumusan dalam muatan dan arus total
Tabel 3: Definisi dan satuan
Persamaan Pertama Maxwell
Muatan pada suatu permukaan tertutup akan didistribusikan ke seluruh volumenya. Dengan demikian, kepadatan muatan volume dapat didefinisikan sebagai:
diukur dengan menggunakan C/m3
Saat mengatur ulang, kita mendapatkan:
Dengan mengintegrasikan persamaan di atas, kita mendapatkan:
Muatan yang tertutup dalam permukaan tertutup ditentukan oleh kerapatan muatan volume pada volume tersebut.
Mengganti (4) ke (3) kita mendapatkan:
Membatalkan integral volume di kedua sisi, kita sampai pada Persamaan Pertama Maxwell:
Persamaan Kedua Maxwell
Persamaan Maxwell kedua didasarkan pada hukum Gauss tentang magnetostatika.
Hukum Gauss tentang magnetostatika menyatakan bahwa “integral permukaan tertutup dari kerapatan fluks magnet selalu sama dengan total fluks magnet skalar yang tertutup di dalam permukaan dalam bentuk atau ukuran apa pun yang terletak pada medium apa pun.”
Secara matematis dinyatakan sebagai:
Oleh karena itu kita dapat menyimpulkan bahwa fluks magnet tidak dapat dimasukkan ke dalam permukaan tertutup dalam bentuk apa pun.
Menerapkan teorema divergensi Gauss ke persamaan (2), kita dapat mengubahnya (integral permukaan)
menjadi integral volume dengan mengambil divergensi vektor yang sama.
Mengganti persamaan (3) ke (2) kita mendapatkan:
Di sini untuk memenuhi persamaan di atas juga
atau 
Volume benda atau benda apa pun tidak akan pernah nol.
Jadi, kita sampai pada persamaan kedua Maxwell.
Di mana, 
adalah kerapatan fluks.
[vektor solonoidal diperoleh ketika divergensi suatu vektor adalah nol. Vektor irasional diperoleh jika perkalian silangnya nol.
Persamaan Ketiga Maxwell
Pernyataan: Medan magnet yang berubah terhadap waktu akan selalu menghasilkan medan listrik.Persamaan Maxwell ke-3 diturunkan dari hukum Induksi Elektromagnetik Faraday . Dinyatakan bahwa “Setiap kali terdapat n lilitan kumparan penghantar pada lintasan tertutup yang ditempatkan dalam medan magnet yang berubah terhadap waktu, gaya gerak listrik bolak-balik akan diinduksikan pada setiap kumparan”. Hukum Lenz memberikan hal ini. Yang menyatakan, “Gaya gerak listrik yang diinduksi selalu melawan fluks magnet yang berubah terhadap waktu.”
Bila terdapat dua buah kumparan dengan jumlah lilitan sebanyak N, maka dihasilkan kumparan primer dan kumparan sekunder. Kumparan primer dihubungkan dengan sumber arus bolak-balik, dan kumparan sekunder dihubungkan secara melingkar tertutup dan ditempatkan agak jauh dari kumparan primer. Ketika arus AC melewati kumparan primer, gaya gerak listrik bolak-balik diinduksikan pada kumparan sekunder. Lihat gambar di bawah ini.
Secara matematis dinyatakan sebagai:
ggl bergantian,
Di mana,
N adalah jumlah lilitan pada suatu kumparan.
𝜙 adalah fluks magnet skalar.
Tanda negatif menunjukkan bahwa ggl induksi selalu melawan fluks magnet yang berubah terhadap waktu.
Misalkan N=1,
Di sini, fluks magnet skalar dapat digantikan oleh :
Substitusikan persamaan (3) ke (2)
Yang merupakan persamaan diferensial parsial yang diberikan oleh:
Gaya gerak listrik bolak-balik yang diinduksikan pada suatu kumparan pada dasarnya merupakan suatu lintasan tertutup.
Mengganti persamaan (5) ke (4) kita mendapatkan
Integral garis tertutup dapat diubah menjadi integral permukaan menggunakan teorema Stoke. Yang menyatakan bahwa “Integral garis tertutup suatu bidang vektor selalu sama dengan integral permukaan lengkungan bidang vektor yang sama”
Mengganti persamaan (7) ke (6) kita mendapatkan
Integral permukaan dapat dibatalkan pada kedua sisi. Jadi, kita sampai pada persamaan ketiga Maxwell.
Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa medan magnet yang berubah terhadap waktu akan selalu menghasilkan medan listrik.
Perpanjangan persamaan ketiga Maxwell dari persamaan ketiga Maxwell untuk medan magnet statis
Yang menyatakan bahwa vektor medan listrik statis merupakan vektor irrotasional.
Medan statis menyiratkan medan magnet yang berubah terhadap waktu adalah nol,
Persamaan Keempat Maxwell
Hal ini didasarkan pada hukum rangkaian Ampere. Untuk memahami persamaan keempat Maxwell, penting untuk memahami hukum rangkaian Ampere,Perhatikan seutas kawat penghantar berarus berarus I. Karena terdapat medan listrik, maka harus ada vektor medan magnet di sekelilingnya. Hukum rangkaian Ampere menyatakan bahwa “Integral garis tertutup vektor medan magnet selalu sama dengan jumlah total medan listrik skalar yang tertutup dalam lintasan berbentuk apapun”, yang berarti arus yang mengalir sepanjang kawat (yang merupakan besaran skalar) adalah sama dengan vektor medan magnet (yang merupakan besaran vektor)
Secara matematis dapat ditulis sebagai :
Setiap jalur tertutup dalam bentuk atau ukuran apa pun akan menempati satu luas permukaan. Dengan demikian, persamaan LHS (1) dapat diubah menjadi integral permukaan menggunakan teorema Stoke, yang menyatakan bahwa “Integral garis tertutup suatu medan vektor selalu sama dengan integral permukaan lengkungan medan vektor yang sama”
Mengganti persamaan (2) ke (1) kita mendapatkan:
di sini, 
Karena itu, 
Pada persamaan di atas, RHS dan LHS keduanya mengandung integral permukaan. Makanya kita bisa membatalkannya.
Jadi, kita sampai pada persamaan keempat Maxwell
Dapat disimpulkan bahwa vektor rapat arus merupakan kurva dari vektor medan magnet statis.
Saat menerapkan bidang yang bervariasi waktu (membedakan berdasarkan waktu) kita mendapatkan
Yang bertentangan dengan persamaan kontinuitas untuk bidang yang berubah terhadap waktu.
Untuk mengatasi kelemahan ini kita menambahkan vektor umum ke persamaan medan statis (6)
Menerapkan divergensi di kedua sisi
Divergensi ikal suatu vektor akan selalu nol.
Mengganti persamaan (6) ke (10) kita mendapatkan
Dengan persamaan pertama Maxwell,
Mengganti nilai ρv ke persamaan (11) kita mendapatkan
Di Sini,
adalah varian luar angkasa dan keduanya independen satu sama lain. Jadi, dengan menata ulang persamaan (12) kita mendapatkan
Jadi membatalkan istilah serupa yang kita dapatkan
Menggantinya 
Ini adalah arus isolasi yang mengalir dalam media dielektrik antara dua konduktor.
Oleh karena itu persamaan keempat Maxwell adalah
atau 
Di mana, Kita tahu bahwa fluks magnet sama dengan hasil kali fluks listrik dan permitivitas.
Mengganti persamaan (14) ke (13) kita mendapatkan
Hukum Gauss
egitiga terbalik disebut operator divergensi.
Persamaan ini berlaku di titik mana pun dalam ruang. Ketika muatan listrik ada di suatu tempat, divergensi D pada titik tersebut adalah bukan nol, jika tidak, maka divergensi D pada titik tersebut adalah nol.
Hukum Magnetisme Gauss
Anda dapat melihat bahwa kedua persamaan tersebut menunjukkan divergensi medan. Persamaan di atas menyatakan bahwa divergensi kerapatan fluks listrik D sama dengan kerapatan muatan listrik volume.
Persamaan kedua menyatakan divergensi Densitas Fluks Magnetik (B) adalah nol.
Hukum Faraday
Hukum Ampere
